取 category $\bold{Sets}$ 並令 $B = 2$ 就可以證明 [Cantor's theorem](math-0059)。我們需要引理

Lemma. no point-surjective morphism [math-0009]

2023-10-11

If there exists $B \xrightarrow{f} B$ such that $f \circ b \ne b$ for all $1 \xrightarrow{b} B$ , then there has no point-surjective morphism can exist for $A \xrightarrow{g} B^A$ .

This is a reversed version of Lawvere's fixed point, no need an extra proof.

Proof

存在 $2 \xrightarrow{\text{not}} 2$ 令所有 $1 \xrightarrow{b} 2$ 都滿足 $\text{not} \circ b \ne b$ ，所以對任何集合 $A$ 都不存在 $A \to 2^A$ 的 point-surjective 函數，因此也不存在 $A \cong 2^A$ 。