Example. frame 的 oppsite 不必是 frame [6CPF]

Topology via logic

$\Omega \mathbb{R}$ 這個 frame 的基本 basis 是一些傳統的實數線上的開集 $(a - \epsilon, a + \epsilon)$，然後基於這些 basis 根據 frame 規則（有限 meet、無限 join）長出這個結構。並且我們可以看到

1. $\le$ 是 $\subseteq$
2. $\text{true}$ 是 $\mathbb{R}$
3. $\text{false}$ 是 $\emptyset$
4. $\wedge$ 是 $\cap$
5. $\vee$ 是 $\cup$

這個案例的重點在，$\Omega \mathbb{R}^{op}$ 並不是一個 frame。證明的重點在展示它並不滿足 distribute law：

如果 $\Omega \mathbb{R}^{op}$ 滿足 distribute law，那麼我們就會得到等式

$\Omega \mathbb{R}$ 的 distribute law 是 $$x \cap (\bigcup Y) = \bigcup \{ x \cap y_i \mid y_i \in Y \}$$

然而考慮 $\bigcap Y = \emptyset$，那我們可以得到 $x \cup \emptyset = x$。接著我們考慮 $x \cap y_i$ 得到一群 $x_i$，然而因為 $\bigcap Y = \emptyset$，所以 $\bigcap (x_i)_{i \in I} = \emptyset$。這表示 $\bigcup \{ x \cap y_i \mid y_i \in Y \} = \emptyset$，等式並不成立，因此 $\Omega \mathbb{R}^{op}$ 並不是一個 frame