用 $S^3$ quotient 掉 antipodal points 會得到 Real projective space $\mathbb{R}P^3$ 。

Proposition. $S^3$ is not simple [local-1]

Proof. [local-0]

因為 $\{\pm 1\}$ 是 $S^3$ 的 normal subgroup： $x \times 1 \times x^{-1}$ 跟 $x \times -1 \times x^{-1}$ for all $x \in S^3$ 都還是屬於 $\{\pm 1\}$ 。

而 $\{\pm 1\}$ nontrivial，有 nontrivial normal subgroup 的群 not simple

$\mathbb{R}P^3$ 是群 $SO(3)$ ：The group of rotations of $\mathbb{R}^3$ 。 $SO(3)$ is simple 所以跟 $S^3$ 不是同一個群

$S^3$ 作為一個群可以視為 2x2 複數矩陣的群，元素為

Q = \begin{pmatrix} a + di & -b - ci \\ b - ci & a - di \end{pmatrix} ,\quad \det(Q) = 1

這又稱為 The special unitary group $SU(2)$ 。

用對角矩陣箝入 $S^1 \to SU(2)$

e^{i\theta} \mapsto \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}

取

Broken pipe (os error 32)

計算 $ghg^{-1}$ 得

\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

不屬於 $S^1$ 。因此 $S^1$ 不是 normal subgroup