我們說一個 presheaf $F : \text{Open}(X)^{op} \to \text{Sets}$ 是 sheaf 是指：對所有 open sets $U$ in $X$ 與所有 $U$ 的 open covering $(U_i)_{i\in I}$，以下兩個條件成立

1. Let $s_1, s_2 \in F(U)$ with ${s_1}_{\mid U_i} = {s_2}_{\mid U_i}$ for all $i$. Then $s_1 = s_2$.
2. Given $s_i \in F(U_i)$ for all $i$ such that ${s_i}_{\mid U_i \cap U_j} = {s_j}_{\mid U_i \cap U_j}$ for all $i,j$. Then there exists an $s \in F(U)$ such that $s_{\mid U_i} = s_i$ (注意，根據條件一這個 $s$ 是唯一的)

假設 $X$ 是一個 $C^r$-manifold（$0 \le r \le \infty$），我們通常用 $C^r_X(U)$ 表示集合

，而 $U$ 是 $X$ 的一個開集。這時候 $C^r_X$ 是一個 sheaf of $\mathbb{R}$-algebras on $X$

1. 這本身也是一個 Ring
2. 在這個案例中，stalk 也就變成經典的 function germs（用重合定義的函數局部等價類）。

Ringed space 是一個 pair $(X, \mathcal{O}_X)$

1. 一個 topological space $X$
2. 一個 sheaf of (commutative) rings $\mathcal{O}_X$

Locally ringed space 是 ringed space $(X, \mathcal{O}_X)$ 加上條件：for all $p \in X$

是一個 local ring（i.e. 有 maximal ideal）