Lie 群的意義 [VQ6V]

Lie 群是同時是群跟流形的物件，但這有什麼意義呢？

最簡單的案例是平面旋轉群 $\text{SO}(2)$，這是由所有平面上的旋轉組成的群，如果把所有的軌跡都畫到平面上，那這會構成一個 $S^1$。而我們知道局部的看 $S^1$ 可以視為一個直線（切線），這就使得局部的來說，可以用切線近似的討論，這條線被稱為 Lie algebra。

所以我們成功地把曲線問題變成線性問題，更重要的是，這個方法更廣泛來說還是有用，比如很多物理學研究的對稱性可以用某個 Lie 群研究。

另外很有趣的是，Complex number 除了可以用代數的方式定義（see Algebra: Chapter 0, III, Proposition 4.6.）：

在 Naive Lie Theory 中提到我們也能用旋轉矩陣來定義。