無外部空間下如何考慮幾何空間的測量？ [math-0001]

metric 就是在測量長度。不過在歐式空間裡面討論嵌入其中的曲面時，曲面有外部空間切向量，也就是歐式空間的向量可以使用。如果曲面沒有外空間，就需要自己做一個出來，這就引出了 Riemann metric 的想法：對可微分流形 $M$ 的每一點 $p$ 考慮抽象的切空間 $T_pM$ （不考慮 $T_pM$ 到底是什麼），重點是隨點附上內積函數 $g : T_pM \times T_pM \to R$ ，因為是模仿內積所以有 bilinearity, positive-definiteness, symmetry 等性質

現在考慮曲線 $y : [0, 1] \to M$ ，在每一點度量 $T_pM$ 向量並積分（加起來）即是曲線長度。又隨著區間 $t : [0, 1]$ 改變，會有對應變化的 $p$ 點，因此模仿並定義

$\sqrt{g(\frac{dy}{dt}, \frac{dy}{dt})}$ 是 norm 的定義，積分因為是跟著 $t$ 變化，因此依賴 $y$ 的參數 $t$ 來定義。如此一來就可以問下一個問題：根據 $g$ 是從 $a$ 到 $b$ 的最短曲線是誰，這就是曲面上的直線的概念（然而，全域與局部最短線，是不一樣的問題，考慮整體將會複雜許多）。