Determinant 的意義 [math-000Q]

從矩陣非常難看出 determinant 的意義，但它其實具備幾何的意涵：對 $n$ 個向量張出的高維平行體的體積影響。

矩陣 $A$ 可以視為張量 $V \otimes V^*$，向量張出的高維平行體可以表示為 exterior product $v_1 \wedge \dots \wedge v_n$。因此定義 $\det A$ 如下：

這表示 $A$ 把 $v_i$ 映射到 $A v_i$ 所得的新高維平行體的體積相對於先前的高維平行體的比例（可能會正負轉換）。

補充：當 $\dim V = N$ 時。$N$ 階 skew-symmetric tensor 的空間 $\Lambda^N V$ 很明顯只有一個維度，這個空間在 Lectures on the Geometry of Manifolds 中叫做 Determinant line of $V$。此時 $\Lambda^{N+1} V$ 全都是 trivial space（只有 $0$ 元素）。