流形上的微分式

設 $(x^i)$ 為 differentiable manifold $M^n$ 的局部座標，可以把微分式定義為 $\partial_1, \dots. \partial_n$ 的對偶基底，記為 $dx^1, \dots, dx^n$ 。亦即

dx^i (\partial_i) = \delta^i_j

一階微分式的整體記為 $\Omega(M)$ 。

任何給定的微分式 $\omega$ 可以寫成 $\omega = a_i dx^i$

對一個 $f \in C^\infty(M)$ ，什麼是 $df$ ？用向量微積分的觀點，是函數 $f$ 的一階變化量

df(X) = D_X f := \lim_{t\to0} \frac{f(p + tX) - f(p)}{t}

因此其類型是 $df : T_pM \to \R$ 的線性函數。

可以證明

df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i

證明如下：設 $df = b_j dx^j$

df(\partial_i) = b_j dx^j(\partial_i) = b_j \delta^j_i = b_i

又有

df(\partial_i) = D_{\partial_i} f = \frac{\partial f}{\partial x^i}

因此

df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i

然而要注意到，並不是每個 $\omega \in \Omega(M)$ 都可以表示成某個 $f$ 的微分 $df$ 。

而且，對於每個具體的 $i$ ， $x^i$ 顯然是一種 $C^\infty(M)$ 的特例，因此也可以定義

dx^i(X) := D_X x^i

驗證

\begin{aligned} D_X x^i &= D_{X^j \partial_j} x^i \\ &= X^j D_{\partial_j} x^i \\ &= X^j \frac{\partial x^i}{\partial x^j} \\ &= X^i \end{aligned}

可見如此定義的 $dx^i$ 跟取對偶基底的結果相同。