代數幾何：非常基本的部分 [math-XGSJ]

代數幾何的核心物件是：多個多項式等式構成的系統

1. 有 $n$ 個變數，記為 $x_n$
2. 有 $k$ 個多項式

幾何上我們就是研究 $\mathbb{C}^n$ 中解集的軌跡。代數上我們就是研究

這個 algebra。事實上任何有限生成 ring 都可以表示成這個形式：$A$ finitely generated 表示存在一個 surjective map $\mathbb{C}[X] \to A$，然後 Hilbert Basis theorem 說明這個 map 的 kernel 可以用有限個元素生成。

$\langle f_1, \dots, f_k \rangle$ 這個理想是由 linear combinations $$\sum_i g_i f_i = g_1f_1 + \cdots + g_kf_k$$ 的形式組成的，其中 $g_i \in \mathbb{C}[x]$ 是多項式