切向量場沿曲線平行 (parallel)

令 $\gamma(t)$ 為一 $C^\infty$ -affine manifold $(M^n, \nabla)$ 上一 $C^\infty$ -曲線。 $Z$ 為 $\gamma$ 上有意義的切向量場（i.e. 對所有 $t$ ，可以對 $t$ 可微的指定一個 $Z\in T_{\gamma(t)} M$ ）

\nabla_{\frac{d\gamma}{dt}}Z=0

稱 $Z$ 沿 $\gamma$ 為平行。

若適當的局部座標為 $(x^i)$ ，則

\gamma(t) = (x^i(t)) \\ Z=Z^i\partial_i

令 $X = \frac{d\gamma}{dt}$ （即速度向量），則

\frac{d\gamma}{dt} f = \frac{d f\circ\gamma}{dt} = \frac{d f(x^i(t))}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{d x^i}{dt} = \frac{d x^i}{dt} \partial_i f

因此

X = \frac{d x^i}{dt} \partial_i

因此

\begin{aligned} \nabla_{\frac{d\gamma}{dt}}Z &= \nabla_{X} (Z^j \partial_j) = \frac{d x^i}{dt} \nabla_{\partial_i}(Z^j \partial_j) \\ &= \frac{d x^i}{dt} ((\partial_i Z^j) \partial_j + Z^j \nabla_{\partial_i}\partial_j) \quad \text{by Leibniz} \\ &= \frac{d x^i}{dt} ((\partial_i Z^j) \partial_j + Z^k \Gamma^j_{ik} \partial_j) \quad \text{by Christoffel} \\ &= \frac{d x^i}{dt} ((\partial_i Z^j) + Z^k \Gamma^j_{ik}) \partial_j \\ &= (\frac{d x^i}{dt}(\partial_i Z^j) + \frac{d x^i}{dt}Z^k \Gamma^j_{ik}) \partial_j \\ &= (\frac{d}{dt}Z^j + \frac{d x^i}{dt}Z^k \Gamma^j_{ik}) \partial_j \\ &= (\frac{d Z^j}{dt} + \frac{d x^i}{dt}\Gamma^j_{ik} Z^k) \partial_j \end{aligned}

$Z$ 沿 $\gamma$ 平行的充要條件為滿足一階線性方程組

\frac{d Z^j}{dt} + \frac{d x^i}{dt}\Gamma^j_{ik} Z^k, \forall j = 1,\dots,n