根據定義，每個 simplicial set $S$ 都是 simplex category $\Delta$ 的一個 presheaf

Definition. Simplex Category [local-0]

Ob: 每個 object 都是 $[n] := \{0, \dots, n\}$ 並帶有整數的 order 結構（其中 $n$ 是非負整數）
Hom: 每個 morphism 都是嚴格遞增函數 $\Delta([m], [n]) := \{ \phi : [m] \to [n] \mid x > y \implies \phi(x) > \phi(y) \}$

這些 morphism 可以用一類特殊的 maps 組出來，叫做 face maps，舉例來說

\delta_i : [n-1] \to [n] \\ x \mapsto \begin{align*}\begin{cases} x, \quad &x < i \\ x + 1, \quad &x \ge i \\ \end{cases}\end{align*}

這個定義乍一看實在沒辦法理解這在定義什麼，所以要實際看看幾個案例：從 $[0]$ 到 $[1]$ 可以畫成

從 $[1]$ 到 $[2]$ 可以畫成

事實上，如果畫成 simplex 的幾何表示 $\text{Simp}_n$ 就更明顯了：

標準 $n$ -simplex $\text{Simp}_n$ 可以定義成：

\text{Simp}_n := \{ (x_0,\dots,x_n) \in [0,1]^n \mid \sum_i x_i = 1 \}

所以 face maps 就是在表示 $[n-1]$ 表示 $[n]$ 的哪一個邊界，線的邊界是兩個點，面的邊界是三條線。